Но тут фокусник поднял руку:
- Стоп! Никуда не годится, слишком долго считаете. Можно гораздо
быстрее. - И он снова согнул палку пополам. - Попрошу убедиться! Перед вами
пять пар чисел. Сумма каждой - пятьдесят один, а сумма пяти пар в пять раз
больше. Беру пятьдесят один, умножаю на пять. И что я получаю? Я получаю
двести пятьдесят пять! А теперь попробуйте сами. Желающие, проходите,
проходите, не стесняйтесь!
Мне уж давно хотелось принять участие в опытах, да как-то неловко
было. Но Олег подтолкнул меня, и я очутилась на эстраде.
Теперь на палке были уже другие числа:
- Прошу найти сумму этих чисел, - сказал фокусник. - Быстренько,
быстренько!
- В прогрессии восемь членов, - сказала я, - значит, четыре пары.
Сумма крайних членов - сорок два. Умножаю сорок два на четыре. Получается
сто шестьдесят восемь. Правильно?
- Абсолютно правильно! - подтвердил фокусник. - Сто шестьдесят восемь!
- Но позвольте, - вмешался Сева, - почему вы в Аль-Джебре решаете
карлнканские задачи? Это же простая арифметика!
- Вот именно простая. Применяя такой способ, мы упрощаем решение.
Обратите внимание: упрощение - один из главных девизов Аль-Джебры. Другой
её девиз - обобщение. Правило, которое я сейчас вам показал, справедливо
для любой арифметической прогрессии. И следовательно...
- Следовательно, его можно выразить буквами, - перебил Олег.
- Великолепно! - воскликнул фокусник. - Вы попали в самую точку. Итак,
размещаю на палке не числа, а буквы. Каждый член прогрессии обозначаю
буквой а и снабжаю её порядковым числом, чтобы не было никакой путаницы.
Такое число называется индексом и ставится чуть ниже и справа от буквы.
Фокусник подал знак, и буквы а в сопровождении индексов быстро
расселись на палке:
- Внимание! Приступаю к выводу формулы. В этом ряду под а1 и а2 можно
подразумевать любые числа.
- Ну конечно, - сказал Сева, - так же как и под всеми остальными.
- Думайте, думайте, молодой человек! - возразил фокусник. - Ведь все
эти а - члены одной арифметической прогрессии. Поэтому произвольно могут
быть взяты только первые два а. Величины остальных зависят от разности
между двумя первыми. Итак, обозначаю разность буквой d. Ведь разность
прогрессии постоянна. Тогда
a2 = а1+d; а3 = а2 +d; a4 = a3 + d.
И так до конца прогрессии. Понятно?
- Понятно, понятно! - закричали все.
- Продолжаю! Надеюсь, все заметили, что в этой прогрессии восемь
членов. Или четыре пары. Сумму крайних членов записываю так:
а1 + а8.
Обозначаю сумму всех членов большой латинской буквой Эс - S. Ведь
слово "сумма" начинается с этой буквы! Значит,
S = 4(а1+ a8).
Кто-то спросил:
- А если в прогрессии десять членов? Как тогда вычислить сумму?
- Точно так же, - ответил фокусник. - Только пар станет уже не четыре,
а пять, и последний член прогрессии будет a10: S = 5 (a1 + a10).
- Стало быть, это справедливо для любого числа членов? - не унимался
дотошный зритель.
- Какое число членов вам угодно сложить?
- Пять! Двадцать! Сто семьдесят пять! Двести сорок! Миллион семьсот
тысяч! - неслось со всех сторон.
Фокусник закрыл уши руками:
- Тише, тише! Сейчас все ваши просьбы будут исполнены.
Он подождал, когда все успокоятся, и снова заговорил:
- Обозначаю число членов буквой Эн - п. Тогда последний член
прогрессии будет а энное - an, а сумма крайних членов
a1+an.
Нетрудно догадаться, что число пар будет в два раза меньше числа п, то
есть n/2. Вот и выходит, что сумма членов запишется так:
S=(a1+an)*n/2.
- Разрешите спросить, - сказал Олег, - если число членов прогрессии
нечётное, как вы его разобьете на пары?
- А уж над этим вы подумайте сами. Но поверьте честному слову
фокусника - формула нисколько не изменится.
Он ещё раз сложил свою палку, и она тут же исчезла. Все захлопали,
засмеялись. Фокусник тоже сложился пополам и исчез так же неожиданно, как
его палка.
Вот какие фокусы показывают в Аль-Джебре.
Таня.
ПОСЛЕДНЯЯ КАЛИТКА
(Нулик - отряду Р ВТ)
Здравствуйте, ребята! Письмо Тани нам ужасно понравилось. И все мои
ученики сразу захотели стать фокусниками. Но я сказал, что фокусником буду
я, а они - моими ассистентами. Их дело - сидеть на палке.
Сначала на палке никто сидеть не хотел. А когда я их уговорил,
оказалось, что сидеть не на чем. Потому что мы нигде не могли найти палку,
которая складывается. Я очень расстроился, а все, наоборот, обрадовались и
побежали кататься на калитке. Это у нас игра такая. В Арабелле давно уже
нет никаких заборов. Случайно остался один по дороге в Римскую провинцию.
Там ещё такая скрипучая калитка. Сядешь на неё и ездишь. Вперёд - назад,
вперёд - назад!
Ну, я тоже поплёлся. Все стали кататься, а я стоял в сторонке и
смотрел. А потом догадался: вот она, палка, которая складывается! То есть
не палка, а забор с калиткой. Ведь калитка, если её открыть, доходит до
самого забора! А забор сделан из редких поперечных планок. В калитке четыре
поперечные планки. Отсчитать ещё четыре на заборе. Выбрать восемь
ассистентов - на каждой планке по одному - и открыть калитку до самого
конца. Моё предложение понравилось. На палке не хотел сидеть никто, зато на
заборе захотели сидеть все. Чтобы не было скандала, я отобрал восемь
ассистентов по порядку: Единицу, Двойку, Тройку, Четвёрку, Пятёрку,
Шестёрку, Семёрку и Восьмёрку.
Сказать по правде, я думал, что это никакая не прогрессия, а
натуральный ряд чисел, но у меня другого выхода не было, иначе все бы
передрались.
Числа стали на планки. Несколько других ассистентов ухватились за
калитку. Я взмахнул рукой, калитка со страшным скрипом поехала к забору...
И вот уже у нас получились четыре пары чисел:
4 и 5; 3 и 6; 2 и 7; 1 и 8.
Сложили каждую пару - получилось девять. Вот так штука! Выходит, я
сделал открытие: натуральный ряд чисел тоже прогрессия. И разность её равна
единице.
Я сложил все числа натурального ряда от единицы до двухсот. Прямо в
уме! Вот где мне пригодилась формула фокусника.
Первый член прогрессии a1=l, а последний an=200. Значит, сумма
прогрессии равна:
S=(1+200)*200/2 = 201*100=20 100.
Двадцать тысяч сто! Вот здорово! От радости я изо всех сил ухватился
за калитку и стал её раскачивать вместе с ассистентами. И тут ржавые петли
не выдержали, калитка отвалилась, и все попадали на землю. Настроение сразу
испортилось. Ещё бы! У кого синяк под глазом, у кого штаны порваны... И мы
пошли домой.
По дороге я придумал ещё одну прогрессию:
1+1+1+1+1+1+1+...
И так до тысячи. В этой прогрессии разность равна нулю. Ведь нуль
всё-таки число! Подставил числа в формулу, и получилось:
S = (1+1)*1000/2=2*500 = 1000.
А дома мне здорово влетело от мамы - ей уже успели на меня
нажаловаться.
- Это ещё что за фокусы? - сказала она. - Никаких калиток! Чтобы
больше этого не было!
Больше и не будет. Потому что кататься всё равно не на чем. Калитка-то
отвалилась, а она ведь была последняя!
Привет.
Нулик - Фокусник.
ПРОСТОТА И НЕВЕРОЯТНОСТЬ
(Олег - Нулику)
Вот мы и расстались с "Абракадаброй". Директор подробно объяснил, как
нам завтра пройти на строительство. Мы поблагодарили его за угощение и
пошли побродить.
Был уже вечер. Ярко светились огни домов, вспыхивали и гасли
разноцветные вывески. Из раскрытых окон доносилась музыка. Там за накрытыми
столами собрались жители Аль-Джебры, чтобы отметить свой праздник.
Нам вдруг стало не по себе. Почему-то захотелось домой. Но тут совсем
близко раздался голос из репродуктора: "Внимание! Внимание! Через пять
минут в Павильоне невероятных задач начнется праздничное состязание.
Председателем жюри единогласно избран всемирно известный барон Мюнхгаузен.
Желающих принять участие просят поторопиться!"
Ты, уж наверное, догадался: мы снова очутились рядом с Парком Науки и
Отдыха. Можно подумать, ноги несли нас туда сами!
Вот и Павильон невероятных задач. С трудом отыскали свободные места.
На эстраду вышли судьи. Мюнхгаузена встретили громкими аплодисментами.
Кстати, роль его исполняла буква Ка. Барон учтиво раскланялся и начал:
- Уважаемая публика! Разрешите мне объяснить правила предстоящего
состязания. Каждый участник должен придумать задачу. На первый взгляд она
должна быть очень простой - такой простой, чтобы всем показалось, что
решить её легче лёгкого. Это - первое условие. Второе... О, второе условие
- невероятность решения! Разумеется, я не говорю о решении на бумаге.
Наоборот, задача должна быть решена в числах, но практически она должна
быть невыполнима.
Итак, повторяю: условие состязания - простота и невероятность. Я мог
бы для примера рассказать вам что-нибудь из своей практики. Но, к
сожалению, все истории, которые со мной случались, были не только просты,
но и вполне вероятны. Почему высмеетесь? Все знают, что барон Мюнхгаузен
самый правдивый человек на свете. Разве не правда, что я верхом на пушечном
ядре влетел в неприятельский город? Разве не правда, что я нанизал на
бечёвку целую стаю живых уток и вместе с ними взлетел в воздух? Таких
правдоподобных историй у меня сколько угодно. Ваше же дело - придумать
задачу, не выполнимую на практике. Не подумайте только, что она должна быть
бессмысленной. За бессмысленные задачи участники платят штраф и вызывают из
состязания. Ну что ж, начнём? Попрошу желающих. На сцену поднялись пухлая
Шестёрка и латинская буква Эн. Барон Мюнхгаузен предложил им тянуть жребий.
Первой получила слово Шестёрка. Вот что она рассказала:
- В давние времена, на Востоке, жил могущественный и грозный шах. Он
был несметно богат. Все трепетали перед ним. Приближённые не только
исполняли, но и предупреждали любое его желание. Сначала это нравилось
шаху. Но настал день, когда всё ему наскучило. Не радовали его больше ни
наряды, ни яства, привезённые со всех концов света...
День ото дня становился он всё угрюмее. Напрасно поэты слагали в его
честь стихи. Напрасно пели для него самые искусные певцы, танцевали самые
прославленные красавицы. Ничто не могло развлечь скучающего владыку. Целыми
часами сидел он в своих роскошных покоях, бессмысленно глядя в одну точку.
Дошло до того, что он заболел.
Врачи сменялись у его ложа чародеями и предсказателями. Но все их
старания ни к чему не приводили. От шаха осталась одна тень. И все поняли,
что дни его сочтены.
И вот у решётки шахского дворца появился странник. Босые ноги его были
изранены, сквозь грязные лохмотья просвечивало тело. Странник сказался
искусным врачом и потребовал, чтобы его пустили к шаху. Стража грубо
оттолкнула оборванца. Тот поднял отчаянный крик. Услыхал его вопли шах и
пожелал видеть безумца, который осмелился нарушить его покой. Нищего
впустили.
- О великий шах, - сказал он, - я пришёл, чтобы излечить тебя от
тяжкого недуга.
- Чтобы излечить, надо знать причину болезни, - возразил шах. - Откуда
знать тебе то, чего я и сам не знаю?
- Ошибаешься, - сказал странник, - причина твоей болезни - скука.
Скука - бич богатых. Им нечего желать, потому что желания их тут же
исполняются. Им не о чем думать, потому что за них думают другие. Я принёс
тебе лекарство, которое заставит тебя думать.
Странник достал из-под рваного плаща небольшую доску, расчерченную
чёрными и белыми квадратами. Он положил её на низенький столик рядом с
шахским ложем и выстроил на ней чёрные и белые фигурки.
- Эту игру, - сказал он, - я назвал шахматами: ведь ей предстоит
излечить шаха.
С этой минуты шах ни о чём, кроме шахмат, и знать не хотел. Целые дни
проводил он вместе со странником за шахматной доской и подолгу размышлял
над каждым ходом. Здоровье его заметно улучшилось. А когда ему удалось
впервые выиграть партию, он почувствовал себя совершенно исцелённым.
- Требуй у меня всего, чего пожелаешь, - сказал он своему спасителю. -
Захочешь, подарю тебе гору золота, захочешь - табун чистокровных арабских
скакунов...
- О шах, - перебил его странник, - не надо мне ни золота, ни скакунов.
В твоей стране столько голодных! Накорми их, - это будет для меня лучшим
подарком.
- Какое мне дело до других! - воскликнул разгневанный шах. - Я обещал
одарить тебя.
- Для себя мне немного нужно, - улыбнулся странник. - Видишь эту
шахматную доску? На ней шестьдесят четыре клетки. Положи на первую клетку
одно зёрнышко риса, на вторую - два зёрнышка, на третью - четыре, на
четвёртую - восемь. И так удваивай число зёрен на каждой следующей клетке,
до тех пор, пока не заполнишь последнюю. Вот и всё.
- Только-то?! - облегчённо вздохнул шах. - Мало же ты просишь! Я бы
потребовал больше.
Принесли мешок риса, и шах сам начал выкладывать зёрна. На первую
клетку положил одно, на вторую - два, на третью - четыре...
Уже на седьмой клетке для шестидесяти четырёх зёрен не хватило места.
- Что же, - сказал странник, - вели ссыпать зёрна в мешок.
Но шаху быстро наскучило считать. Он кликнул слуг. Теперь стали
отсчитывать зёрна они: шестьдесят четыре, сто двадцать восемь, двести
пятьдесят шесть, пятьсот двенадцать, тысяча двадцать четыре...
Но это была еще только одиннадцатая клетка!
Стемнело. Зажгли светильники. Слуги чуть не падали от усталости. Когда
они дошли до семнадцатой клетки, им нужно было отсчитать шестьдесят пять
тысяч пятьсот тридцать шесть зёрен. Но тут они сбились со счёта. Несмотря
на то что была уже глубокая ночь, шах велел разбудить мудрецов. Теперь он
уже не смеялся, - побледнел, осунулся...
Прошли сутки, и ещё одни сутки, и ещё одни сутки, а мудрецы всё
считали... Вот уже и они стали валиться от усталости, а конца всё ещё не
было видно. Слуги вносили всё новые и новые мешки...
Но вот вбежал насмерть перепуганный хранитель шахских запасов. Он
доложил, что в амбарах не осталось ни одного рисового зёрнышка.
- Негодяй! - закричал шах страннику. - Ты разорил меня!
- Я просил тебя накормить голодных, - ответил странник, - ты не
захотел этого. Тогда я изменил свою просьбу. И ты счёл меня глупцом.
Попробуй теперь сосчитать, сколько зёрен нужно положить на последнюю,
шестьдесят четвёртую клетку, и ты поймёшь, кто из нас глупец. Опустоши все
рисовые поля на свете - тебе и этого не хватит, чтобы со мной расквитаться.
- Ах так! - в бешенстве закричал шах. - Сейчас ты узнаешь, умею ли я
платить сполна. Отрубить ему голову!
- Такова шахская справедливость, - закончила свой рассказ Шестёрка. -
А теперь прошу вас убедиться, что задача эта очень проста, но практически
невыполнима. Число рисовых зёрен росло по такому правилу: 1, 2, 4, 8, 16,
32, и так далее. Каждое последующее число больше предыдущего в два раза.
Такой ряд чисел называется геометрической прогрессией. Только,
Новинки >> Русской фантастики (по файлам) | Форумов | Фэндома | Книг