- Ну, где тут порядок? Где? - горячился Сева.
- Немножко наблюдательности - и вы перестанете спорить. Заметьте, что
любое число в этом треугольнике равно сумме двух чисел, стоящих над ним.
- Правда! - сказала Таня. - Число 28 из девятого ряда равно сумме семи
и двадцати одного, которые стоят над ним.
- А 126 из десятого ряда равно сумме семидесяти и пятидесяти шести, -
сосчитал Сева.
- Вот видите! Никогда не торопитесь с выводами, - сказала Эс. - Часто
то, что кажется неразберихой, на самом деле имеет строгий порядок. Надо
только его обнаружить.
В том-то и задача каждого учёного.
- До чего интересный треугольник придумал Паскаль! - вздохнула Таня.
- О, в этом треугольнике ещё много замечательного. Сложите числа
каждого ряда. В первом ряду так и будет единица. Во втором?
- Два.
- В третьем?
- Четыре. В четвёртом - восемь, в пятом - шестнадцать, затем -
тридцать два, шестьдесят четыре...
- Слушайте! - закричал я. - Ведь это же разные степени числа два:
20= 1;
21=2;
22=4;
23= 8;
24=16;
25=32.
Мне показалось, что Эс посмотрела на меня одобрительно.
- Не кажется ли вам, - сказала она, - что все эти степени можно
записать одним алгебраическим выражением: 2n-1 - два в степени эн минус
единица?
- Почему же не просто два в степени эн?
- Оттого, что эн обозначает порядковый номер строки, а показатель
степени здесь всегда на единицу меньше порядкового номера. В первой строке
- нуль, во второй - единица, в третьей - два, и так далее.
- Ага! - догадалась Таня. - Выходит, сумма чисел, стоящих в десятой
строке, будет равна двум в девятой степени, что можно изобразить так: два в
степени десять минус единица: 210-1.
- Или два в степени эн минус единица, - победоносно закончил Сева.
- Очень приятно, что вы это поняли, - обрадовалась Эс. Но Сева сейчас
же доказал, что радоваться рано.
- Жаль, что такое удивительное изобретение используется только для
приготовления вафель, - заявил он.
Эс даже поперхнулась.
- Что вы такое говорите! Треугольник Паскаля широко применяется в
Аль-Джебре. Он блестяще используется при возведении в степень двучленов.
Кстати, этим вопросом занимался не только Паскаль, но и его великий
современник, сэр Исаак Ньютон. С его формулой, известной под названием
бинома Ньютона, вы познакомитесь несколько позже. Каждому овощу своё
время...
- А! Ньютон! - небрежно отмахнулся Сева. - Это тот самый, который
подошёл к нам вместе с Лейбницем на Дороге Светлого Разума. Они там вдвоём
что-то такое открыли, а потом разбирались, кто из них первый...
- Это "что-то такое" положило начало высшей математике. И называется
оно анализом бесконечно малых и бесконечно больших величин.
И Эс, сухо попрощавшись, удалилась.
Сева так смутился, что нам его жалко стало.
Но не прошло и пяти минут, как он уже составлял какие-то новые
треугольники, которые решил, конечно, назвать своим именем.
Вот один из них. Покажи его своим ученикам. Может быть, вы наведёте в
нём порядок.
Будь здоров.
Олег.
Да! Совсем забыл ответить на твой вопрос. Ты хочешь знать, почему а +
b - с называется суммой.
Дело в том, что знаки плюс и минус, обозначающие положительные и
отрицательные числа, в то же время обозначают сложение и вычитание.
+ -
Что значит, например, 3+2? Разве это не то же самое, что 3 - 2?
И то и другое равно единице.
Потому-то в алгебре сумму и разность часто объединяют одним названием:
алгебраическая сумма.
Напиши а + b - с так:
+ + -
а+b+с
и ты увидишь, что Сева нисколько не ошибся.
ГОРЯЧО - ХОЛОДНО
(Сева - Нулику)
Ну, Нулик, держись! Это письмо тебя наверняка удивит и обрадует,
потому что... Впрочем, нет! Рассказывать, так по порядку.
Всё ещё торчим в "Абракадабре". То никак не могли попасть, то никак не
выберемся. Совсем уж собрались уходить, но вдруг я вспомнил о стручке,
сунул руку в карман - пусто!
Искали, искали, лазали по полу - хорошо, пол здесь чистый, - нигде его
нет... А потом я подошёл к столу, где мы сидели, и вижу: в вазе на круглой
бумажной салфетке лежит один треугольник. Откуда он взялся? Помнится, мы
съели все.
Очень мне захотелось взять эту вафлю. На память. Тётя Нина говорит,
что это неприлично. Ну, да один раз - куда ни шло! Да и вафелька-то была
совсем маленькая. Я поднял её. Глядь! А стручок-то под ней. Неспроста!
Стали мы рассматривать вафельку. Чисел на ней не было. Зато было пять
рядов букв. Буквы стояли вразброс, но мы уже знали, что беспорядок бывает
обманчивым. И всё-таки как мы ни старались, никаких закономерностей не
открыли. Тогда Таня перевернула вафлю. На другой стороне тоже было пять
рядов букв. Посмотрели - и ахнули! Прочитай, что там было написано, и
ахнешь тоже:
Первая весточка от Чёрной Маски! Вот она, тайна, где-то рядом. Как в
игре "горячо - холодно". Я чуть не закричал: "Горячо, горячо!"
- Может быть, это ключ к шифру! - сказал Олег.
Он осторожно расслоил вафлю. Вместо одной толстой получились две
тоненькие. Мы положили их рядом и стали сличать буквы. Олег вынул карандаш
и бумагу и написал два ряда букв:
я от вас ушел маска
а пу гвт фыим ндчоб
Вот когда мы расшифруем записку!
Но Олег снова задумался:
- Нет, тут что-то не так. В первом ряду буква "а" повторяется три
раза. Но каждый раз она зашифрована по-разному. Сначала "а" - это "в",
потом - "д", потом - "б". Значит, шифр всё время меняется. Но как?
То-то и оно!
Мы опять приуныли.
Я с досадой взглянул на стручок. Разлёгся как лодырь на круглой
бумажной салфетке, а до нас ему и дела нет.
Только сейчас я заметил, что на салфетке, точь-в-точь как на круглой
табличке в витрине, написаны буквы русского алфавита. Под каждой буквой
номер. Мы стали рассматривать салфетку.
И вдруг стручок начал медленно вращаться. Совсем как часовая стрелка.
Острый кончик его медленно скользил от буквы к букве.
- Смотрите! - сказал я. - После "я" на салфетке написано "а". И в
шифре вместо "а" надо читать "я". После "о" стоит "п". И в шифре "п"
означает "о". Значит, буквы надо заменять соседними.
- Ничего подобного! - заспорила Таня. - В слове "вас" буква "а"
заменена буквой "в". А ведь буква "в" не соседняя, а вторая после "а". А в
слове "ушёл" буква "ш" заменена "ы". А это уже третья буква после "ш".
Ну и задача! Абракадабра!
Мы растерянно смотрели на вафли. Но что это! Хочешь верь, хочешь не
верь: буквы на шифрованном треугольнике исчезли. Вместо них появились
числа.
Треугольник Паскаля! Вот так штука!
Олег внимательно переводил глаза с бумажки на салфетку, с салфетки на
вафлю.
- Смотрите-ка, в слове "вас" буква "а" заменяется буквой "в". Это как
раз вторая буква после "а". Теперь поглядим на треугольник Паскаля. Там на
этом месте тоже двойка. То же самое и в слове "ушёл". Буква "ш" заменяется
"ы", которая занимает третье место после "ш". И в треугольнике Паскаля там
тоже стоит тройка.
Вот тебе и ключ к шифру! Только подойдёт ли он к нашей записке?
Олег вынул её из потайного кармана, и мы стали расшифровывать.
Сначала, правда, запнулись. Понимаешь, слова записки не были заключены в
треугольник. А нам надо было знать, по какой строчке треугольника
расшифровывать каждое слово. Но Олег быстро догадался, как это делается:
если в слове пять букв - расшифровывай по пятой строке треугольника, если
восемь - по восьмой, и так далее.
Первое слово записки - "трэялрп". В нём семь букв. Но в нашем
треугольнике было всего пять строк. Пришлось попросить большой треугольник.
Для научных целей. Директор выбрал самый что ни на есть огромный.
Посмотрели на седьмую строчку. Там были такие числа: 1, 6, 15, 20, 15,
6, 1. Подписали под ними первое слово:
1 6 15 20 15 6 1
т р э я л р п.
Теперь надо было отодвинуться по кругу от "т" на одну букву, от "р" -
на шесть, от "э" - на пятнадцать... Стали отсчитывать буквы по ходу часовой
стрелки. Но вот беда: стручку это почему-то не понравилось. Он упорно
двигался в обратном направлении.
Тогда мы смекнули, что по часовой стрелке надо отсчитывать буквы,
когда зашифровываешь. А мы-то расшифровываем! Значит, и отсчитывать следует
против часовой стрелки. Отсчитали от "т" одну букву назад - получили "с",
от "р" шесть букв - получили "к", от "э" пятнадцать букв - получили "о"....
И вот уже вместо дурацкого слова "трэялрп" перед нами хорошее русское
слово "сколько". Точно так же расшифровали и следующее слово "вюоп". В нём
четыре буквы. Посмотрели на четвёртую строчку треугольника: 1, 3, 3, 1.
Оказалось, что это никакое не "вюоп", а просто "было".
Так, слово за слово, распутали мы всю абракадабру. Вот что оказалось в
записке:
"Сколько было у меня горошин, если Нулик сперва съел одну треть их,
затем прихватил не то две, не то четыре горошины, половину остатка я
потерял, а Нулик вернул мне половину того, что он прихватил; потом две
горошины я подарил, а последнюю унёс ветер? Стручок".
Час от часу не легче! Разгадал одну загадку - теперь разгадывай
другую.
Вот какие дела, старик!
Сева.
СТАРЫЙ ЗНАКОМЫЙ
(Таня - Нулику)
Дорогой Нулик! Мы всё ещё в том же заколдованном месте.
Расшифровали записку и стали решать задачу стручка. Бились, бились -
ничего не выходит! Хотели уж идти в Автоматическую справочную, но Пэ
отсоветовал.
- Если вы в самом деле хотите помочь одному незнакомцу, - сказал он
таинственно, - решите эту задачу сами. Но для этого необходимо составить
уравнение...
Легко сказать, составить уравнение! Составить треугольник Паскаля -
это ещё куда ни шло, но уравнение?..
- Понимаю, - посочувствовал Пэ, - вы ещё не были на нашем образцовом
строительстве. Иначе вы уже знали бы, с чем это едят.
- Строительство и уравнение? - покачал головой Сева.
- Ничего удивительного! Неужели вы думаете, что можно построить
что-нибудь без уравнений?
Мы хотели сейчас же, сию минуту отправиться на это необыкновенное
строительство, но директор напомнил, что сегодня праздник. Придется
подождать до завтра.
- Кстати, - добавил он, - сейчас в нашем кафе начнется выступление
знаменитого фокусника. Хотите посмотреть?
Не стоило и спрашивать. Кто же откажется от такого удовольствия? И
можешь себе представить, на эстраде появился тот самый фокусник, который
выступал в карликанском цирке! Мы обрадовались ему, как родному. Сейчас он
станет делить нуль на тысячу частей, покажет Великана из Бесконечности...
Но всё было иначе.
Фокусник поднял руку, и в ней неизвестно откуда появилась длинная
палка. Потом он выпустил палку, но она не упала, а продолжала лежать в
воздухе, как на столе. Фокусник предложил публике убедиться, что палка не
какая-нибудь фальшивая, а выточенная из цельного куска дерева.
Первым на эстраду выскочил Сева, за ним - ещё несколько посетителей.
Все они подтвердили, что никакого обмана нет.
Тогда фокусник взмахнул рукой, и вот уже на палке, как воробьи на
проводах, уселись его ассистенты - числа.
- Обратите внимание, - сказал фокусник, - числа расположены на палке в
определённом порядке. Каждое, начиная слева, больше предыдущего на одно и
то же число.
- На два! - крикнули из зала.
- Правильно, на два.
Фокусник снова взмахнул рукой, и на палке появились другие числа:
- Попрошу уважаемую публику ответить: какой порядок в этом ряду чисел?
- Каждое число больше предыдущего на пять, - сказала я.
- Благодарю вас, - поклонился фокусник. - Так вот, должен вам сделать
потрясающее сообщение: ряд чисел, где каждое последующее число больше
предыдущего на постоянную величину, называется ар-р-р-ифметической
пр-р-р-ро-грессией. Но это ещё не всё. Эта постоянная величина называется
разностью прогрессии. И более того: сами числа называются членами
прогрессии!
- Ага! Значит, в первом случае разность прогрессии была равна двум, а
во втором - пяти, - сказал кто-то.
- Браво! - воскликнул фокусник.
Сева толкнул меня локтем:
- Всё это хорошо, но когда начнутся фокусы?
Фокусник, наверное, услышал его слова. Он лукаво посмотрел на Севу и
снова взмахнул рукой. И вдруг палка, толстая палка, выточенная из цельного
куска дерева, согнулась посредине и концы её сошлись. Теперь числа,
сидевшие, на равном расстоянии от концов, оказались точно друг против
друга: три - против сорока восьми, восемь - против сорока трёх, и так
далее.
- Попрошу сложить любую пару чисел, - предложил фокусник.
Мы сложили: три и сорок восемь. Получилось пятьдесят один. Затем
восемь и сорок три. Снова пятьдесят один. Тринадцать плюс тридцать
восемь... Что такое? Опять пятьдесят один! И восемнадцать плюс тридцать
три, и двадцать три плюс двадцать восемь - все они в сумме давали одно и то
же число: пятьдесят один.
- Вот это уже фокус! - закричал Сева.
- Где фокус? - развёл руками фокусник. - Это вы называете фокусом?
Ха-ха-ха! Обыкновеннейшее алгебраическое правило.
- Но в чём же тогда фокус? - хорохорился Сева.
Фокусник небрежно разогнул палку, словно она была из бумаги.
- Попробуйте положить палку в воздухе, согнуть её пополам, потом снова
разогнуть и вы не станете задавать мне такие вопросы!
Все засмеялись, захлопали, а фокусник продолжал: - Предлагаю сделать
небольшой опыт. Кто из вас быстрее сложит все числа этой арифметической
прогрессии? Раз, два, три - начали!
В зале зашептались, зашуршала бумага, задвигались карандаши. Мы тоже
стали складывать:
3+8+13+18+23+28+33+38+43+48.
Сначала складывали в уме, потом - столбиком. От волнения всё время
сбивались. Нам очень хотелось сосчитать быстрее. Но почему-то получалось
медленно. Под конец чуть не подрались.
Новинки >> Русской фантастики (по файлам) | Форумов | Фэндома | Книг