Он указал на светящиеся в полумраке арабские письмена и прочитал:
"Китаб аль-джебр валь-мукабала".
- Большое вам спасибо, - сказал Олег. - Что такое восстановление, мы
как будто поняли. Но что такое противопоставление?
Тут снова стукнулись медные подносы. Весовщик загадочно улыбнулся и
растаял в темноте. Мне послышался голос мамы Двойки: "Всякому овощу своё
время!" С тех пор как мы здесь, эта пословица так и звенит у меня в ушах!
Даже не верится: неужели настанет день, когда мы сядем рядом, возьмём
задачу зелёного стручка и решим её сами, без всяких провожатых и
весовщиков?
Сева.
ВВЕРХ-ВНИЗ!
(Олег - Нулику)
Что ты скажешь, Нулик, не дают нам лететь вперёд сломя голову!
Вышли из весовой, спрашиваем у Эф:
- Когда начнём составлять уравнения?
А она:
- Сперва научитесь решать.
- Вот те раз! Сперва решать, а составлять потом?
- В Аль-Джебре считают, что так целесообразней.
Что ж, решать так решать. Чем скорее, тем лучше.
- Как раз наоборот, - отвечает Эф, - чем скорее, тем хуже. На сегодня
довольно. Ваш рабочий день кончился. Отдохните, а завтра приходите снова.
И мы пошли отдыхать. В общем, это не так уж плохо, особенно если под
боком Парк Науки и Отдыха.
В парке, как всегда, было полно народу.
Стали думать, куда пойти. Сева непременно хотел посмотреть что-нибудь
новенькое. Тане не терпелось опять побывать у силомера. Но я их помирил:
предложил пойти к силомеру и всё-таки увидать кое-что новое. Потому что мы
ведь не успели заглянуть в колодец, где живут отрицательные числа!
Когда мы подошли к молотку, какой-то чудак возводил в квадрат
квадратные корни. Задумает, например, корень квадратный из трёх и возведёт
его в квадрат. Понятно, ничего, кроме трёх, при этом получиться не может.
Потому что извлечение корня и возведение в степень - действия
взаимоуничтожающиеся.
((32) =3.
Представь себе, что к какому-нибудь числу прибавили пять и тут же
снова вычли. От этого число не изменилось.
Точно так же не изменится число, если из него сперва извлекут корень
квадратный, а потом снова возведут в квадрат.
Покончив с квадратными корнями, чудак стал возводить в третью степень
корень третьей степени из пяти и, конечно, получил пять:
3((53)=5.
Он долго стучал молотком, и каждый раз зажигалась зелёная лампочка.
Сева спросил у него, зачем он зря тратит время. Чудак неодобрительно
хмыкнул:
- Погостите у нас - узнаете, что без этого иной раз не проживёшь.
Наконец он устал и отошёл в сторону. А молоток взяла крохотная буковка
Вэ - v. Она возвела в квадрат число 41. Гирька взлетела высоко-высоко, к
числу 1681, и зажглась зелёная лампочка. Малютка Вэ запрыгала от радости:
ничего, мол, что росточком не вышла, зато гирьку вон куда забросила!
Подошла очередь Севы.
- Дайте-ка мне возвести в квадрат отрицательное число. Возведу, а
потом загляну в колодец. Только гирьки, пожалуй, там и не увидишь. Ведь чем
больше число, тем глубже она уходит в колодец. А я возьму число не
маленькое. Ну, хотя бы минус сорок один. Насколько я понимаю, минус сорок
один в квадрате равно минус тысяче шестистам восьмидесяти одному.
Кругом зашептались. Сева стукнул молотком, гирька ушла вниз. Мы
заглянули в колодец: где-то там, в тёмной глубине, зажглась красная
лампочка.
- В чём дело? - всполошился Сева. - Что-нибудь не так?
- Конечно, - пропищала крошка Вэ, - вы забыли переменить знак. Ведь
отрицательное число, возведённое в квадрат, становится положительным.
Сева схватился за голову.
- Какой же я осёл! Ведь возвести в квадрат - значит помножить число
само на себя! А минус на минус даёт плюс.
Он отошёл, уступив место Тане.
Она возвела в квадрат минус три. Получилось плюс девять. Гирька
подскочила и загорелся зелёный огонёк. Потом Таня возвела минус три в
третью степень. Получилось минус двадцать семь. Гирька ушла в колодец, и
там снова вспыхнула зелёная лампочка.
- Дай-ка мне!
Я взял у Тани молоток и стал возводить минус три в четвёртую степень,
пятую, шестую, седьмую...
Гирька по очереди то подпрыгивала всё выше и выше, то уходила всё
глубже в колодец. И каждый раз загорался зелёный огонёк. Тут-то я и понял,
что, когда отрицательное число возводишь в чётную степень, ответ получается
положительный, а когда в нечётную - отрицательный. Хочешь знать почему?
Возьми карандаш и разберись сам.
Наконец мы решили, что достаточно углубили свои знания в колодце, и
отправились дальше.
По дороге нам повстречалась старая знакомая - та самая Мнимая
Единичка, которая спрашивала у автомата, найдётся ли ей место в жизни. Мы
её сразу узнали по маленькому красному зонтику.
- Здравствуйте, как поживаете?
- Отлично, - ответила она. - Автомат сказал правду: и Мнимая Единица
может на что-нибудь пригодиться.
- Неужели вы нашли себе место на воздушной монорельсовой дороге?
- Конечно, но не на той ветке, где живут действительные числа. У нас.
Мнимых Единиц, собственная дорога. Она пересекает воздушную монорельсовую
как раз на Нулевой станции.
- Как же мы её не заметили? - спросил Сева.
- Так ведь наша дорога мнимая и не сразу бросается в глаза.
- Жаль, что не сразу! - сердито отрезал Сева. - Теперь придется
возвращаться, чтобы посмотреть на неё.
- Возвращаться к старому иногда полезно, - заметила Мнимая Единичка. -
Но с небольшим кусочком мнимой дороги вы можете познакомиться и здесь. В
парке построен новый аттракцион. Он называется "Мнимая карусель". Я там
работаю. Хотите взглянуть?
Хотим ли мы взглянуть на карусель, да ещё мнимую? Как ты думаешь?
Олег.
МНИМАЯ КАРУСЕЛЬ
(Таня - Нулику)
Вот тебе, Нулик, наши последние новости.
По дороге к аттракциону всё чаще мелькали рекламные плакаты:
ПЕРВАЯ В МИРЕ МНИМАЯ КАРУСЕЛЬ!
ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО ДЛЯ МНИМЫХ ЕДИНИЦ!
ЕДИНСТВЕННОЕ МЕСТО,
ГДЕ МНИМЫЕ ЕДИНИЦЫ МОГУТ СТАТЬ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ!
Мнимые Единицы, кружитесь на здоровье!
Наша симпатичная подружка щебетала без умолку и рассказала кучу
интересного.
Оказывается, Мнимая Единица - это просто-напросто корень квадратный из
отрицательной единицы: v - 1 .
- А разве из минус единицы нельзя извлечь корень? - спросил Сева. -
Ведь корень квадратный из единицы всегда равен единице.
- Ой-ой-ой! - ужаснулась Мнимая Единичка. - Это касается только
положительной единицы. Ведь что значит извлечь корень квадратный, скажем,
из девяти?
- Это значит найти такое число, которое при возведении в квадрат
равнялось бы девяти, - ответил Олег. - Это число три.
- Верно. А теперь попробуйте найти число, которое при возведении в
квадрат даёт минус единицу!
Мнимая Единичка тоненько засмеялась.
Сева озадаченно взъерошил волосы:
- М-да! Такого числа нет. Какое число ни возводи в квадрат,
положительное или отрицательное, ответ всё равно получится положительный.
Уж я-то знаю!
- Вот видите. Потому-то корень квадратный из минус единицы называется
мнимой единицей.
- Выходит, мнимые единицы совсем особые числа. Наверное, и дорога у
вас устроена как-нибудь особенно.
- Ничуть. Наша дорога очень похожа на ту, где живут действительные
числа, только расположена она под прямым углом к ней. Это такая же
бесконечная прямая, в центре которой находится всё та же Нулевая станция.
- Раз у вас есть Нулевая станция, значит есть положительные и
отрицательные числа?
- Что вы! Разве мнимые числа могут быть положительными и
отрицательными? Просто на нашей дороге, так же как и на дороге
действительных чисел, есть два направления от нуля. Одно из них условились
обозначать знаком плюс, другое - знаком минус.
- Но как же мнимые числа отличают от действительных?
- С помощью буквы i:
2i, 5i, - 8i, - 12i.
- Вот как! У вас, как и у других букв в Аль-Джебре, тоже есть
коэффициенты?
- Конечно.
- А где же ваш коэффициент? - ляпнул Сева.
И когда только он научится вести себя в обществе? Хорошо ещё,
воспитанная Единичка сделала вид, что не заметила его бестактности.
- Мой коэффициент - единица, и он, как всегда, невидимка.
Но Сева уже закусил удила. Ужасный он спорщик!
- Вот вы говорите, что мнимая монорельсовая дорога похожа на
действительную. Значит, и правила движения на ней те же. Так ведь? Тогда
при чём здесь карусель? Ведь на обычной монорельсовой дороге движение идёт
по прямой, а карусель-то кружится?
- Вы отчасти правы, - ответила Мнимая Единичка. - Правила движений у
нас более разнообразны. При сложении и вычитании вагончики на мнимой дороге
движутся по прямой и по тем же правилам, что и действительные числа;
2i + 3i = 5i;
8i - 15i = - 7i,
или вот еще:
- 3i + 9i = 6i,
ну и конечно:
5i - 5i=0.
Мнимые Единички с разными знаками и одинаковыми коэффициентами
взаимоуничтожаются на Нулевой станции.
Иное дело - умножение, деление, возведение в степень... Тут уж Мнимые
Единицы двигаются не только по прямой, но и по кривой. Именно это вы сейчас
и увидите.
Мы вошли в круглый павильон. Там было полным-полно Мнимых Единиц. Все
они с нетерпением ждали своей очереди покружиться.
Павильон очень похож на цирк. Места расположены амфитеатром. В центре
- арена, её под прямым углом друг к другу пересекают две перекладины. Одна
перекладина изображает монорельсовую дорогу действительных чисел. На концах
её укреплены таблички + 1 и - 1. Другая перекладина изображает дорогу
мнимых чисел. Здесь на концах находятся таблички + i и - i. На пересечении
дорог, в центре арены, - Нулевая станция. Здесь укреплена вращающаяся ось,
и на неё (совсем как патефонная пластинка) надет прозрачный пластмассовый
круг.
Когда мы вошли, карусель только что остановилась. С неё легко
соскочила Мнимая Единица с зелёным зонтиком. Вместо неё на круг, точно
против таблички +i, стала Мнимая Единица с жёлтым зонтиком.
Наша спутница подошла к микрофону и скомандовала:
- К возведению в степень приготовиться!
Прозвенел звонок, и под звуки плавного вальса круг тронулся. Только не
по часовой стрелке, а в обратную сторону. И тут-то начались необыкновенные
вещи!
Мнимая Единица с жёлтым зонтиком пересекла дорогу действительных чисел
у таблички - 1 и превратилась в действительное число - Отрицательную
Единицу.
Возле таблички снова стала Мнимой Единицей, но уже со знаком минус.
Вот она снова пересекла действительную дорогу, поравнялась с табличкой +1 и
- невероятно! - опять превратилась из Мнимой Единицы в Действительную, да
ещё положительную. А потом как ни в чём не бывало возвратилась к табличке
i. Тут она снова стала Мнимой.
Оркестр заиграл песню "Каким ты был, таким остался!", и всё началось
сначала. Карусель кружилась, а Мнимая Единица всё превращалась и
превращалась.
- Не понимаю, - сказал Сева. - Мнимая Единица превращается в
Действительную, Действительная - опять в Мнимую... Как это?
- На то и возведение в степень! - отозвалась Мнимая Единичка. - Ведь
Мнимая Единица равняется корню квадратному из минус единицы: i =v - 1 . Но
если возвести в квадрат корень квадратный из любого числа, что получится?
- Подкоренное число, - ответил Олег.
- Так это же мы недавно видели! - вспомнил Сева. - Один карликан целый
час возводил в квадрат то корень квадратный из трёх, то корень квадратный
из двух... И каждый раз получалось число, стоящее под радикалом.
- То же самое происходит и с Мнимой Единицей:
i2 = i*i = (v-1)2= - 1.
- Ну, это понятно. А как же действительное число - минус единица
превращается в мнимое?
- При этом Мнимая Единица возводится уже не в квадрат, а в куб, то
есть в третью степень:
i3 = i2* i.
А это ведь всё равно что умножить минус единицу на i:
- 1 * i = - i.
- Теперь, - сказал Олег, - нетрудно понять, как Мнимая Единица с
минусом - i превращается в Действительную Единицу со знаком плюс + 1 . Она
возводится в четвёртую степень:
i4 = i2*i2
А это можно представить себе и так:
- 1 * - 1 = + 1.
- Прекрасно! - воскликнула Мнимая Единичка. - Остаётся выяснить, как
Действительная Единица снова становится Мнимой.
В самом деле, как? Тут даже Олег ни до чего не додумался. Но
оказалось, что для этого Мнимую Единицу надо возвести в пятую степень.
- Не может быть! i5 равно i?! - растерялись мы. - Что же это такое?
- Да ничего особенного: i4 = 1. Чтобы получить i5, умножим единицу на
i. А это ведь всё равно что i, взятое один раз, то есть просто i: 1 * i =
i.
- Вот так история! Мнимую Единицу нельзя возвести более чем в
четвёртую степень? - удивился Олег.
- Отчего же! - возразила Мнимая Единичка. - Возводите себе на здоровье
и в шестую, и в седьмую, и в сто двадцать первую... Словом, в любую целую
степень. Но ничего, кроме того, что уже было, не получится. На то и
карусель!
Тут Севе срочно понадобилось выяснить, чему равняется i17?
- Ну, это совсем нетрудно, i в пятой равно i, - сказала Мнимая
Единичка. - Значит, i в девятой тоже равно i...
- Понимаю! - перебил Сева. - Каждый раз надо прибавлять к показателю
степени четыре: i13 равно i, значит, i17 тоже равно 1.
Вот, Нулик, хорошая задача для твоих учеников. Попробуйте вычислить,
чему равно i24? А чтобы вам легче было, загляните в чертёж мнимой карусели.
Новинки >> Русской фантастики (по файлам) | Форумов | Фэндома | Книг